Prove that :

tan³A / 1 +tan²A  +cot³A / 1 +cot²A = secA*cosecA -2 sinA*cosA

LHS : tan³A / 1+tan²A  +  cot³A / 1+cot²A

tan³A / sec²A  +  cot³A / cosec²A ( 1+tan²A = sec²A  AND 1+cot²A = cosec²A )

(sin³A / cos³A )* (cos²A / 1)  +  (cos³A / sin³A ) * (sin²A /1)

(sin³A / cosA ) +  (cos³A / sinA ) 

[sin⁴A + cos⁴A / cosA sinA ]

[{(sin²A + cos²A) - 2 sin²A cos²A} / cosA sinA ]  (sin⁴A + cos⁴A = (sin²x+ cos²x) - 2 sin²x cos²x )  ) 

[(1 - 2 sin²A cos²A} / cosA sinA ] ( sin²A + cos²A = 1 )

{1 / cosA sinA }  - {2 * (sin²A cos²A / cosA sinA) }

secA cosecA -2 sinA cosA

LHS = RHS  (Hence Proved)

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